تقرير تحليلي شامل لتمارين امتحان الرياضيات (الفصل الثاني - دورة مارس 2024)
1. مقدمة التقرير
يقدم هذا التقرير تحليلاً أكاديمياً رصيناً لموضوعي امتحان مادة الرياضيات لشعبة الرياضيات، دورة مارس 2024، المنعقد بثانوية أحمد رحمون الثنية. يهدف التقرير إلى توثيق النصوص الكاملة للتمارين وصياغة ملخصات مفاهيمية تسلط الضوء على الكفاءات المستهدفة، مع تعزيز العمق البيداغوجي ليكون مرجعاً تقويمياً شاملاً يجمع بين دقة المحتوى العلمي ومنهجية التحليل التربوي.
--------------------------------------------------------------------------------
2. تحليل الموضوع الأول
2.1 التمرين الأول: الحساب (5.5 نقطة)
-
نص التمرين:
- أ- عيّن تبعاً لقيم العدد الطبيعي n بواقي القسمة الإقليدية للعدد 3^n على 7. ب- حدد الأعداد الطبيعية n بحيث يكون: (2020^{1962} \times n + 4 \times 1441^{1954}) \equiv 0 [7].
- نعتبر العدد الطبيعي N_p المكتوب في النظام العشري على الشكل: N_p = \underbrace{111 \dots 1}_{p \text{ مرة}}. أ- بيّن أن: N_p \equiv p [3]. ب- استنتج باقي قسمة العدد N_{2020} على 3. ج- برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي n يكون العدد (3^n - 1) قابلاً للقسمة على 2. د- بيّن أن العدد N_p يقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد (3^p - 1) يقبل القسمة على 7. هـ- استنتج باقي قسمة العدد N_{2020} على 7.
- أ- حل في \mathbb{Z}^2 المعادلة: 3x - 7y = 4. ب- استنتج الأعداد الصحيحة a التي تحقق الجملة: \begin{cases} a \equiv 1 [3] \\ 2a \equiv 3 [7] \end{cases} ج- عين باقي قسمة N_{2020} على 21.
- نعتبر العدد الطبيعي M المكتوب في النظام ذي الأساس 4 على الشكل: M = \overline{abb2a0}^4. أ- عين قيم a و b علماً أن: M - 4 \equiv 0 [7]. ب- استنتج قيم M مكتوبة في النظام العشري.
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: دراسة بواقي القسمة الإقليدية الدورية، التعداد في الأنظمة العشرية وغير العشرية، حل المعادلات الديوفانتية في \mathbb{Z}^2 باستخدام مبرهنة غوص، والربط بين الموافقات وبنية الأعداد.
- الطلبات الرئيسية: تحديد قيم المتغيرات لتحقيق موافقات محددة، البرهنة على قابلية القسمة لتركيبات خطية، والتحويل بين الأنظمة العددية.
- ملاحظة الخبير: يكمن جوهر التمرين في الربط المنهجي بين التمثيل العشري للعدد N_p والخواص الحسابية لأعداد "ميرسين" من الشكل (3^p - 1)، مما يتطلب دقة في الاستدلال بالموارد الحسابية.
2.2 التمرين الثاني: الاحتمالات (4.5 نقطة)
-
نص التمرين: يحتوي وعاء U على 5 كريات حمراء و 3 كريات صفراء
وكريتين خضراوين. الكريات متماثلة لا نفرق بينها باللمس. نسحب عشوائياً ثلاث
كريات من الوعاء U في آن واحد. A, B, C ثلاثة أحداث حيث: A: "الحصول على ثلاث
كريات حمراء"، B: "الحصول على ثلاث كريات من نفس اللون"، C: "الحصول على ثلاث
كريات مختلفة اللون مثنى مثنى".
- أحسب P(A)، P(B)، P(C) احتمال الأحداث A, B, C على الترتيب.
- X المتغير العشوائي الذي يرفق بكل سحبة عدد ألوان الكريات المسحوبة.
- عرف قانون الاحتمال للمتغير العشوائي X ثم أحسب أمله الرياضياتي.
- نضيف (5-n) كرية حمراء إلى الوعاء U حيث n \ge 5، ثم نسحب عشوائياً كريتين على التوالي دون إرجاع. نعتبر الحدثين D و E حيث: D: "الحصول على كريتين حمراوين"، E: "الحصول على كريتين مختلفتين في اللون". أ- أثبت أن: P(D) = \frac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)}. ب- أحسب بدلالة n العدد P(E) احتمال الحدث E. ج- عين قيم العدد الطبيعي n بحيث P(E) \ge \frac{1}{2}.
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: التعداد باستخدام التوفيقات (السحب الآني) والترتيبات (السحب المتوالي دون إرجاع)، المتغيرات العشوائية، وقوانين الاحتمال الوسيطية.
- الطلبات الرئيسية: حساب احتمالات أحداث مركبة، صياغة عبارات احتمالية بدلالة وسيط طبيعي n، وحل متراجحات تتضمن كسوراً ناطقة.
- ملاحظة الخبير: الانتقال من السحب الآني إلى السحب المتوالي مع إدخال الوسيط n يختبر قدرة الطالب على نمذجة المسائل الاحتمالية وتوظيف أدوات التحليل لحل المتراجحات الناتجة.
2.3 التمرين الثالث: تحليل الدوال والمتتاليات (10 نقاط)
-
نص التمرين: نعتبر من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم n، الدالة f_n
المعرفة على المجال ]-1, +\infty[ بـ: f_n(x) = x^n \ln(x+1). (C_n) تمثيلها
البياني في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O; \vec{i}, \vec{j}). I.
لتكن h_n الدالة المعرفة على المجال ]-1, +\infty[ بـ: h_n(x) = \frac{x}{x+1}
+ n \ln(x+1).
- أدرس اتجاه تغير الدالة h_n.
- أحسب h_n(0) ثم استنتج إشارة h_n(x) على المجال ]-1, +\infty[.
- نفرض أن n=1: أ- برر قابلية الاشتقاق للدالة f_1(x) ثم اكتب عبارة f'_1(x) بدلالة h_1(x). ب- استنتج اتجاه تغير الدالة f_1 على المجال ]-1, +\infty[.
- ليكن n عدد طبيعي حيث n \ge 2: أ- أحسب نهايتي f_n عند +\infty و -1. ب- أدرس اتجاه تغير الدالة f_n وشكل جدول تغيراتها (ميز الحالتين n زوجي و n فردي).
- أ- أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم n فإن جميع المنحنيات (C_n) تشمل نقطتين ثابتتين (نقط تقاطع مشتركة) A و B يطلب تعيينهما. ج- أنشئ في نفس المعلم السابق (C_1) و (C_2). II. نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة على \mathbb{N}^* كما يلي: u_n = \int_0^1 x^n \ln(x+1) dx.
- أ- عين الأعداد الحقيقية a, b, c بحيث من أجل كل x من [0, 1] فإن: \frac{x^2}{x+1} = ax + b + \frac{c}{x+1}. ب- استنتج قيمة I = \int_0^1 \frac{x^2}{x+1} dx ثم أثبت أن: u_1 = \frac{1}{4}.
- أ- أثبت أن المتتالية (u_n) متناقصة تماماً ثم برر تقاربها. ب- أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم n فإن: 0 \le u_n \le \frac{\ln 2}{n+1} ثم استنتج \lim_{n \to +\infty} u_n.
- نضع من أجل كل عدد طبيعي n \ge 2 ومن أجل كل عدد حقيقي x من المجال [0, 1]: S_n = 1 - x + \dots + (-1)^n x^n = \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k x^k. أ- أثبت أن: S_n = \frac{1}{x+1} - \frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{x+1}. ب- استنتج أن: \sum_{k=0}^{k=n} \frac{(-1)^k}{k+1} = \ln 2 - (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+1} dx. ج- أثبت باستعمال التكامل بالتجزئة أن: u_n = \frac{\ln 2}{n+1} - \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \left[ \ln 2 - \left( 1 - \frac{1}{2} + \dots + \frac{(-1)^n}{n+1} \right) \right]
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: دراسة الدوال اللوغاريتمية النونية، هندسة المنحنيات (النقاط الصامدة)، التكامل بالتجزئة، وحصر المتتاليات المعرفة بتكاملات.
- الطلبات الرئيسية: دراسة تغيرات دالة حسب شفعية n، إثبات التقارب باستخدام مبرهنة الحصر، والتعامل مع المجاميع النونية والتكاملات المحدودة.
- ملاحظة الخبير: التمرين يمثل ذروة المقاربة التحليلية، حيث يربط بين السلوك التقاربي للدوال والمتتاليات عبر تكاملات معقدة، وتبرز الصعوبة البيداغوجية في معالجة المجموع S_n وتوظيفه في علاقة التكامل بالتجزئة.
--------------------------------------------------------------------------------
3. تحليل الموضوع الثاني
3.1 التمرين الأول: الحساب والتعداد (5.5 نقطة)
-
نص التمرين: I. 1) أ- أدرس حسب قيم العدد الطبيعي n بواقي القسمة
الإقليدية للعدد 5^n على 7. ب- استنتج باقي قسمة العدد 1440^{2019} \times 2020
على 7. 2) عين قيم العدد الطبيعي n التي من أجلها يكون: 4(5^{n-2} + 5^{n-3} +
\dots + 1) + 3 \equiv 0 [7]. 3) أ- تحقق أنه من أجل كل عدد طبيعي n يكون:
2C_{n+1}^2 + A_{n+3}^2 = 2n^2 + 6n + 6. ب- عين قيم العدد الطبيعي n التي من
أجلها يكون العدد (2C_{n+1}^2 + A_{n+3}^2) مضاعفاً للعدد 7. 4) نضع n=9 ونعتبر
x و y عددين صحيحين ولتكن المعادلة: (E) \dots C_{10}^2 x - A_{12}^2 y = 15.
أ- أثبت أن المعادلة (E) تقبل حلاً على الأقل في \mathbb{Z}^2. ب- بيّن أنه إذا
كانت الثنائية (x; y) حلاً للمعادلة (E) فإن x \equiv 0 [5]، ثم حل المعادلة
(E). 5) أ- إذا كان x و y عددين طبيعيين، فماهي القيم الممكنة لـ d = pgcd(x;
y). ب- عين الثنائيات (x; y) حلول المعادلة (E) بحيث يكون العددين x و y أوليين
فيما بينهما. II. نعتبر المعادلة (E'): 343x - 648y = 76 حيث x و y عددين
طبيعيين.
- تحقق أن الثنائية (4, 2) حل للمعادلة (E') ثم عين حلولها في \mathbb{N}^2.
- \lambda عدد طبيعي يكتب \overline{\beta 1 \alpha \beta}^7 في نظام التعداد ذي الأساس 7 ويكتب \overline{\alpha 1 \alpha \alpha \beta}^5 في نظام التعداد ذي الأساس 5. جد العددين \alpha و \beta ثم اكتب \lambda في نظام التعداد ذي الأساس 6.
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: الموافقات بترديد 7، توظيف التوفيقات C_n^k والترتيبات A_n^k في صياغة معادلات ديوفانتية، القاسم المشترك الأكبر، والأنظمة غير العشرية.
- الطلبات الرئيسية: حل المعادلات من الشكل ax+by=c، دراسة شروط الأولية بين عددين، والتحويل بين أنظمة التعداد المختلفة.
- ملاحظة الخبير: يتميز هذا التمرين بدمج التحليل التعدادي (الترتيبات والتوفيقات) في صلب نظرية الأعداد، مما يفرض على الطالب قدرة عالية على التبسيط الجبري قبل الشروع في الحل الحسابي.
3.2 التمرين الثاني: المتتاليات العددية (6.5 نقطة)
-
نص التمرين: لتكن المتتالية العددية (u_n) المعرفة بحدها الأول u_0
= \frac{1}{\alpha} ومن أجل كل عدد طبيعي n: u_{n+1} = \sqrt[\alpha]{u_n} حيث
\alpha \in \mathbb{N} و \alpha > 1.
- أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي \alpha أكبر تماماً من 1: \sqrt[\alpha]{\frac{1}{\alpha}} > \frac{1}{\alpha}.
- برهن باستعمال البرهان بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي n: \frac{1}{\alpha} \le u_n < 1.
- أحسب u_1 ثم برهن بالتراجع أن المتتالية (u_n) متزايدة تماماً على \mathbb{N}.
- علل لماذا المتتالية (u_n) متقاربة؟ نعتبر المتتالية (v_n) المعرفة على \mathbb{N} بـ: v_n = \ln(u_n).
- أثبت أن المتتالية (v_n) هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
- استنتج عبارة u_n بدلالة n ثم حدد \lim_{n \to +\infty} u_n.
- ليكن الجداء P_n = \sqrt[n]{\frac{1}{u_1} \times \frac{1}{u_2} \times \dots \times \frac{1}{u_n}}. أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي n: P_n = \alpha^{\left(\frac{1-\alpha^{-n}}{(\alpha-1)n}\right)}.
- أحسب الجداء التالي T_n = e^{v_0^2} \times e^{v_1^2} \times \dots \times e^{v_n^2}.
- نضع \alpha = 2، تحقق أن T_n = e^{\frac{\ln^2(2)(4-4^{-n})}{3}}. استنتج أن (T_n) متقاربة يطلب تعيين نهايتها.
- أحسب بدلالة n المجموع: S_n = \log(e^{v_1}) + \log(\frac{e^{v_2}}{2}) + \log(\frac{e^{v_3}}{3}) + \dots + \log(\frac{e^{v_n}}{n}). (حيث \log هو اللوغاريتم العشري).
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: الاستدلال بالتراجع، تقارب المتتاليات الرتيبة والمحدودة، المتتاليات الهندسية المرفقة باللوغاريتم، وحساب الجداءات والمجاميع النونية المعقدة.
- الطلبات الرئيسية: إثبات عبارة الحد العام، دراسة نهاية جداءات نونية، وتوظيف خصائص اللوغاريتم العشري والنيبيري.
- ملاحظة الخبير: التركيز هنا ينصب على الربط بين المتتاليات الجذرية والمتتاليات الهندسية عبر التحويل اللوغاريتمي، وتعد كتابة P_n بدلالة \alpha و n اختباراً حقيقياً لمهارات التبسيط الأسي.
3.3 التمرين الثالث: تحليل الدوال الأسية (8 نقاط)
-
نص التمرين: m عدد حقيقي غير معدوم، f_m الدالة العددية للمتغير
الحقيقي x المعرفة على \mathbb{R} بـ: f_m(x) = 2x + 3 - (x+1)e^{mx}. (C_m)
تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس (O; \vec{i}, \vec{j}). I. نضع m=1:
- أحسب f_1'(x) و f_1''(x) ثم أدرس تغيرات الدالة f_1'.
- أحسب f_1'(0) ثم استنتج إشارة f_1'(x).
- أدرس تغيرات الدالة f_1 وشكل جدول تغيراتها.
- أ- بيّن أن المنحني (C_1) يقبل مستقيم مقارب مائل (\Delta) عند -\infty يطلب تعيين معادلة له. ب- أدرس وضعية (C_1) بالنسبة للمستقيم (\Delta).
- أ- بيّن أن المعادلة f_1(x) = 0 تقبل حلين \alpha و \beta حيث 0.92 < \alpha < 0.93 و -1.56 < \beta < -1.55. ب- جد معادلة المماس (T) للمنحني (C_1) عند النقطة ذات الفاصلة 0. ج- أنشئ (T), (\Delta), (C_1).
- أ- باستعمال التكامل بالتجزئة، احسب بدلالة \alpha المساحة S(\alpha) للحيز المحدد بـ (C_1) والمستقيمات: x=0, x=\alpha, y=2x+3. ب- بيّن أن S(\alpha) = \frac{2\alpha^2 + 3\alpha}{\alpha+1} ثم عين حصراً للعدد S(\alpha). II. نفرض أن m كيفي:
- بيّن أن جميع المنحنيات (C_m) تشمل نقطتين ثابتتين يطلب تعيين إحداثي كل منهما.
- بيّن أن المستقيم (\Delta) مقارب مائل لجميع المنحنيات (C_m) عند -\infty.
- n عدد طبيعي حيث n \ge 2. نضع f_m^{(n)} الدالة المشتقة من الرتبة n للدالة f_m. برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي n \ge 2: f_m^{(n)}(x) = -m^{n-1} e^{mx} (mx + m + n)
-
الملخص المفاهيمي:
- المفاهيم المستهدفة: دراسة الدوال الأسية الوسيطية، المستقيمات المقاربة المشتركة، مبرهنة القيم المتوسطة، التكامل بالتجزئة، والمشتقات من الرتب العالية.
- الطلبات الرئيسية: مناقشة سلوك الدالة حسب الوسيط m، حساب مساحات بدلالة قيم تقريبية، والبرهان بالتراجع على صيغة عامة للمشتقة النونية.
- ملاحظة الخبير: تبرز أهمية هذا التمرين في دراسة تأثير الوسيط m على السلوك التقاربي والمشتقات المتتالية، مما يعزز قدرة الطالب على التعامل مع العبارات الجبرية العامة.
--------------------------------------------------------------------------------
4. جدول مقارنة المواضيع (السمات الرياضية المهيمنة)
المكون الرياضي |
الموضوع الأول |
الموضوع الثاني |
|
محور الحساب |
التركيز على أعداد "ميرسين" والأنظمة العددية. |
التركيز على المعادلات الديوفانتية والتركيبات التعدادية. |
|
محور الاحتمالات |
نمذجة السحب المتوالي مع تغير عدد الكريات (n). |
(غير مدرج كاستقلالية، دُمجت مفاهيمه في الحساب). |
|
محور المتتاليات |
متتاليات معرفة بتكاملات (الربط مع الدوال اللوغاريتمية). |
متتاليات جذرية وهندسية (الربط مع اللوغاريتم العشري). |
|
محور الدوال |
دراسة دوال لوغاريتمية نونية f_n(x). |
دراسة دوال أسية وسيطية f_m(x) ومشتقتها النونية. |
|
المهارة المركزية |
التحكم في مبرهنة الحصر والتكامل بالتجزئة المزدوج. |
الاستدلال بالتراجع والتحكم في القوى والجذور النونية. |